Låt x,y,z vara lösningarna till en given tredjegradsekvation. Då kan
varje symmetriskt polynom i x,y,z skrivas som ett polynom i
koefficienterna till tredjegradsekvationen, detta är fundamentalsatsen
för symmetriska polynom för fallet tredjegradsekvation.
Fundamentalsatsen var känd av Newton åtminstone för
tredjegradsekvationen och finns i hans anteckningar som dateras till
år 1665--1666, enligt Whiteside [7]. I
[2] finns ett bevis för fundamentalsatsen i och
Newtons 19 formler som beskriver sambanden finns i . Låt 
vara en primitiv kubikrot till 1, dvs komplext tal sådant att
. Observera att
Lagrange observerade att 
kan anta sex olika
värden beroende på ordningen av rötterna x,y,z. Dessa sex värden är
lösningar till en sjättegradsskvation
vars koefficienter kan
visas vara symmetriska i x,y,z och är därför uttryckbara som polynom
i tredjegradsekvationens koefficienter. Lagrange kallar denna ekvation
för resolventen och den är lösbar eftersom det visar sig att den
faktiskt är en andragradsekvation i 
. Detta kan lätt ses om man
ordnar 
enligt följande
då får man
och resolventen blir då
När väl de sex lösningarna till resolventekvationen är funna fås lösningarna till tredjegradsekvationen genom
och problemet blir nu att identifiera 
och 
bland
lösningarna till resolventekvationen. Vandermonde hade ett lite
annorlunda angreppssätt och fick variablerna 
och 
och lyckades inte genomskåda något sätt att välja lämpliga kubikrötter
att sätta in i lösningsformlerna utan föreslog istället att man skulle
sålla ut de tre rötterna genom att sätta in kandidaterna till lösningar i
ursprungsekvationen.
Men Lagrange oberverade att om nu t är en lösning till
resolventekvationen så kan man tänka sig en omordning av x,y,z så
att 
Lagrange observerade sedan att
är symmetrisk i
x,y,z så det uttryckets värde, w säg, kan bestämmas ur
koefficienterna till tredjegradsekvationen. Nu får man rötterna genom
där t får vara vilken som helst av de sex rötterna till resolventekvationen!
Detta resonemang kan även generaliseras till fjärdegradsekvationen vilket både Vandermonde och Lagrange gjorde. Det naturliga är att studera
där x,y,z,r är rötterna till
en fjärdegradsekvation, men det visar sig fungera och dessutom bli
enklare om man istället studerar t=x-y+z-r eftersom de 24 olika
permutationerna endast producerar sex olika värden, 
och resolventekvationen blir då en
tredjegradsekvation i 
. Man kan resonera sig fram till att man
kan ta 
och 
som vilka två som helst av lösningarna till
resolventen bara det gäller att 
(man får undanta
fallet att fjärdegradsekvationen har två rötter lika). Sen observeras
att 
är symmetrisk i x,y,z,r och lösningarna fås som
En mer utförlig beskrivning av Lagranges och Vandermondes lösningar av tredje- och fjärdegradsekvationerna med förklaringar om vad som är en naturlig form för lösningarna finns beskrivet av Edwards i [2], .